Question

【题目】已知椭圆E:的一个焦点为,长轴与短轴的比为2:1.直线与椭圆E交于PQ两点,其中为直线的斜率.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,问:是否存在一个以坐标原点O为圆心的定圆O,不论直线的斜率取何值,定圆O恒与直线相切?如果存在,求出圆O的方程及实数m的取值范围;如果不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)存在,.的取值范围是

【解析】

（1）根据题意直接计算出得到答案.

（2）设直线OP的方程为:点的坐标为,则,联立方程组，设坐标原点O到直线的距离为d,则有，得到，计算得到答案.

(1)由已知得:解得:椭圆E的方程为

(2)假设存在定圆O,不论直线的斜率k取何值时,定圆O恒与直线相切.

这时只需证明坐标原点O到直线的距离为定值即可.

设直线OP的方程为:点的坐标为,则,

联立方程组

①

以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,

,直线OQ的方程为:

在①式中以换t,得②

又由知:

设坐标原点O到直线的距离为d,则有

又当直线OP与轴重合时,此时

由坐标原点O到直线的距离为定值知,所以存在定圆O,不论直线的斜率k取何值时,定圆O恒与直线相切,定圆O的方程为:.

直线与轴交点为,且点不可能在圆O内,又当k=0时,直线与定圆O切于点,所以的取值范围是