题目内容
【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线交于
两点,若点的坐标为
,求
的最小值.
【答案】(1) ; (2)
.
【解析】
(1)利用极坐标公式把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2) 将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,利用弦长公式求出|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=,再求其最小值.
(1)由ρ=6sin θ得ρ2=6ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+(y-3)2=9.
所以圆C的直角坐标方程为x2+(y-3)2=9.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0.
由已知得Δ=(2cos α-2sin α)2+4×7>0,
所以可设t1,t2是上述方程的两根,则
由题意得直线l过点(1,2),结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|
==
=
≥
=2
.
所以|PA|+|PB|的最小值为2.
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