Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧棱底面,且, 是棱的中点，点在侧棱上运动.

(1)当是棱的中点时，求证： 平面；

(2)当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）取线段的中点，连结．可得四边形是平行四边形， ，即可证明平面；（2）以为原点， ， ， 所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法二面角的余弦值.

试题解析：(1)取线段的中点，连结.

∵,∴，且.

又为的中点，∴,且.

∴,且.∴四边形是平行四边形.

∴.

又平面平面,∴平面.

(2)∵两两垂直，∴以为原点， 所在直线分别为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图,

∵三棱柱中， 平面，

∴即为直线与平面所成的角.

设，则由，得.

∴.

∴,

设平面的一个法向量为，

则

令，得，即.

又平面的一个法向量为,∴,

又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.