Question

【题目】已知数列满足： ， ， .　

（1）证明： ；

（2）证明： ；

（3）证明： .

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）先用数学归纳法证明，再设， ，求出的单调性，即可得证；（2）要证，只需证，令， ，求出的单调性，推出，再令， ，求出的单调性，推出，即可得证；（3）由（2）可得，由迭代可得，再根据，推出 ，然后由，推出，即可得证.

试题解析：（1）先用数学归纳法证明.　

①当时，∵，∴；

②假设当时， ，则当时， .

由①②可知.

再证.

，

令， ，则，

所以在上单调递减，所以，

所以，即.

（2）要证，只需证，

只需证其中，

先证，

令， ，只需证.　

因为，

所以在上单调递减，所以.

再证，

令， ，只需证，

，

令， ，则，

所以在上单调递增，所以，

从而，所以在上单调递增，所以，

综上可得.

（3）由（2）知，一方面， ，由迭代可得，

因为，所以，所以

；

另一方面，即，

由迭代可得.

因为，所以 ，所以

；

综上， .