题目内容

(本小题满分13分)已知中心在坐标原点O,焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2,1)
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线平行于,且与椭圆交于A、B两个不同点.
(ⅰ)若为钝角,求直线轴上的截距m的取值范围;
(ⅱ)求证直线MAMBx轴围成的三角形总是等腰三角形.

(1)(2)(3)利用直线MAMB的倾斜角互补,
证明直线MAMBx轴始终围成一个等腰三角形

解析试题分析:解:(Ⅰ)设椭圆方程为
 解得 
∴椭圆的方程为.             ………………………… 4分
(Ⅱ)(ⅰ)由直线平行于OM,得直线的斜率
轴上的截距为m,所以的方程为
 得.
又直线与椭圆交于A、B两个不同点,
,于是. ……………… 6分
为钝角等价于,             



由韦达定理代入上式,
化简整理得,即,故所求范围是.
……………………………………………8分
(ⅱ)依题意可知,直线MAMB的斜率存在,分别记为.
.      ………………………………10分



所以 , 故直线MAMB的倾斜角互补,
故直线MAMBx轴始终围成一个等腰三角形.…………………… 13分
考点:本试题考查了椭圆的方程和直线与椭圆的位置关系。
点评:对于解决解析几何的方程问题,一般都是利用其性质得到a,b,c的关系式,然后求解得到,而对于直线与椭圆的位置关系,通常利用设而不求的数学思想,结合韦达定理,以及判别式来分析求解。尤其关注图形的特点与斜率和向量之间的关系转换,属于难度题。

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