题目内容
【题目】已知函数,
是常数.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线方程,并证明对任意
,切线经过定点;
(Ⅱ)当时,设
,
是
的两个正的零点,求证:
.
【答案】(1) 切线过定点
(2)见解析
【解析】【试题分析】(I)对函数求导,代入求得斜率,利用点斜式写出切线方程并化简,由此求得直线过定点
.(II)当
时,利用二分法可判断函数在区间
内有零点
.利用导数可判断函数在区间
内, 有唯一零点
,再根据函数的单调性可证得
.
【试题解析】
(Ⅰ)
,所求切线方程为
,即
切线方程等价于,当
时,恒有
,即切线过定点
。
(Ⅱ)函数的定义域为
,
曲线在各定义域区间内是连续不断的曲线。
时,
,
,
所以在区间
内有零点
。
在区间内,
,
,
单调递减。
,
若且
,则
,
所以在区间
内有零点
由单调递减知,
在区间
内有唯一零点
因为,
所以,
,
由单调递减知,
,即
.
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