题目内容

已知数列{an}是以d为公差的等差数列,{bn}数列是以q为公比的等比数列.
(Ⅰ)若数列的前n项和为Sn,且a1=b1=d=2,S3<a1003+5b2-2010,求整数q的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试问数列中是否存在一项bk,使得bk恰好可以表示为该数列中连续p(p∈N,p≥2)项的和?请说明理由;
(Ⅲ)若b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中t>s>r,且(s-r)是(t-r)的约数),求证:数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项.
分析:(Ⅰ)由等差等比数列的表达式an=2n,bn=2•qn-1,代入S3<a1003+5b2-2010直接求解即得到答案.
(Ⅱ)可以先假设数列{bn}中存在一项bk,满足bk=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1,再根据已知的条件去验证,看是否能找出矛盾.如果没有矛盾即存在,否则这样的项bk不存在;
(Ⅲ)由已知条件b1=ar,得b2=b1q=arq=as=ar+(s-r)d,和等差等比数列的性质,由数学归纳法求证数列中每一项是否都是数列中的项.
解答:解:(Ⅰ)由题意知,an=2n,bn=2•qn-1,所以由S3<a1003+5b2-2010,
可得到b1+b2+b3<a1003+5b2-2010?b1-4b2+b3<2006-2010?q2-4q+3<0.
解得1<q<3,又q为整数,所以q=2;
故答案为2.
(Ⅱ)假设数列{bn}中存在一项bk,满足bk=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1
因为bn=2n,∴bk>bm+p-1?2k>2m+p-1?k>m+p-1?k≥m+p(*)
bk=2k=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1=2m+2m+1++2m+p-1=
2m(2p-1)
2-1

=2m+p-2m<2m+p,所以k<m+p,此与(*)式矛盾.
所以,这样的项bk不存在;
故答案为不存在.
(Ⅲ)由b1=ar,得b2=b1q=arq=as=ar+(s-r)d,
d=
ar(q-1)
s-r

b3=b1q2=arq2=at=ar+(t-r)d?arq2-ar=(t-r)•
ar(q-1)
s-r

从而ar(q+1)(q-1)=ar(q-1)•
t-r
s-r

因为as≠ar?b1≠b2,所以q≠1,又ar≠0,
q=
t-r
s-r
-1
.又t>s>r,且(s-r)是(t-r)的约数,
所以q是整数,且q≥2,
对于数列中任一项bi(这里只要讨论i>3的情形),
有bi=arqi-1=ar+ar(qi-1-1)
=ar+ar(q-1)(1+q+q2++qi-2
=ar+d(s-r)(1+q+q2++qi-2
=ar+[((s-r)(1+q+q2++qi-2)+1)-1]•d,
由于(s-r)(1+q+q2++qi-2)+1是正整数,所以bi一定是数列{an}的项.
故得证.
点评:此题主要考查等差等比数列的性质的应用,以及数学归纳法在数列中的应用,题目较为复杂,需要一步一步的分析求解,计算量要求较高,属于难题.
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