Question

已知数列{a_n}是以4为首项的正数数列，双曲线a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一个焦点坐标为(0，

cn

)(n≥2)，且c₁=6，一条渐近线方程为y=

2

x．
（1）求数列{c_n}（n∈N*）的通项公式；
（2）试判断：对一切自然数n（n∈N*），不等式

1

c1

+

2

c2

+

3

c3

+…+

n

cn

+

n

3•2n

＜

2

3

是否恒成立？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先将双曲线方程化成标准形式，再根据c²=a²+b²得出c_n=a_n+a_n-1，然后据渐近线方程得出数列{a_n}的通项公式，最后根据c_n=a_n+a_n-1求出所得．
（2）首先令Sn=

1

c1

+

2

c2

++

n

cn

=

1

3•2

+

2

3•22

++

n

3•2n

，然后利用数列的错位求和法求出s_n，再比较大小．

解答：解：（1）∵双曲线方程为a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n
∴

y2

an

-

x2

an-1

=1
∵焦点坐标为(0，

cn

)(n≥2)
∴c_n=a_n+a_n-1
又∵渐近线方程得

an

an-1

=

2

∴

an

an-1

=2(n≥2)
∵a₁=4
∴数列{a_n}是首项为4，公比为2的等比数列
∴a_n=2ⁿ⁺¹
∴c_n=2ⁿ⁺¹+2ⁿ=3•2ⁿ（n≥2）
又∵c₁=6，也符合上式
∴c_n=3•2ⁿ（n∈N^*）
（2）令Sn=

1

c1

+

2

c2

++

n

cn

=

1

3•2

+

2

3•22

++

n

3•2n

①
则

1

2

Sn=

1

3•22

+

2

3•23

++

n

3•2n+1

②
1-②，得

1

2

Sn=

1

3•2

+

1

3•22

+

1

3•23

++

1

3•2n

-

n

3•2n+1

=

1

3

•

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

3•2n+1

∴S_n=2×[

1

3

(1-

1

2n

)-

n

3•2n+1

]
即Sn=

2

3

-

2

3•2n

-

n

3•2n

∴

1

c1

+

2

c2

+

3

c3

++

n

cn

+

n

3•2n

=

2

3

-

2

3•2n

-

n

3•2n

+

n

3•2n

=

2

3

-

2

3•2n

＜

2

3

即

1

c1

+

2

c2

+

3

c3

++

n

cn

+

n

3•2n

＜

2

3

∴对一切自然数n（n∈N*），不等式

1

c1

+

2

c2

+

3

c3

++

n

cn

+

n

3•2n

＜

2

3

恒成立．

点评：本题主要考查数列和解析几何以及数列求和与不等式的综合，特别要注意数列的错项求和法的运用．