题目内容
【题目】设A（n）表示正整数n的个位数，an=A（n2）﹣A（n），A为数列{an}的前202项和，函数f（x）=ex﹣e+1，若函数g（x）满足f[g（x）﹣ 
]=1，且bn=g（n）（n∈N*），则数列{bn}的前n项和为 ．
【答案】n+3﹣（2n+3）?（ 
）n
【解析】解：n的个位数为1时有：an=A（n2）﹣A（n）=0，
n的个位数为2时有：an=A（n2）﹣A（n）=4﹣2=2，
n的个位数为3时有：an=A（n2）﹣A（n）=9﹣3=6，
n的个位数为4时有：an=A（n2）﹣A（n）=6﹣4=2，
n的个位数为5时有：an=A（n2）﹣A（n）=5﹣5=0，
n的个位数为6时有：an=A（n2）﹣A（n）=6﹣6=0，
n的个位数为7时有：an=A（n2）﹣A（n）=9﹣7=2，
n的个位数为8时有：an=A（n2）﹣A（n）=4﹣8=﹣4，
n的个位数为9时有：an=A（n2）﹣A（n）=1﹣9=﹣8，
n的个位数为0时有：an=A（n2）﹣A（n）=0﹣0=0，
每10个一循环，这10个数的和为：0，
202÷10=20余2，余下两个数为：a201=0，a202=2，
∴数列{an}的前202项和等于：a201+a202=0+2=2，
即有A=2．
函数函数f（x）=ex﹣e+1为R上的增函数，且f（1）=1，
f[g（x）﹣ 
]=1=f（1），
可得g（x）=1+ =1+ 
，
则g（n）=1+（2n﹣1）（ 
）n，
即有bn=g（n）=1+（2n﹣1）（ ）n，
则数列{bn}的前n项和为n+[1（ ）1+3（ ）2+5（ ）3++（2n﹣1）（ ）n]，
可令S=1（ ）1+3（ ）2+5（ ）3++（2n﹣1）（ ）n，
S=1（ ）2+3（ ）3+5（ ）4++（2n﹣1）（ ）n+1，
两式相减可得 S= +2[（ ）2+（ ）3+（ ）4++（ ）n]﹣（2n﹣1）（ ）n+1
= +2 
﹣（2n﹣1）（ ）n+1，
化简可得S=3﹣（2n+3）（ ）n，
则数列{bn}的前n项和为n+3﹣（2n+3）（ ）n．
故答案为：n+3﹣（2n+3）（ ）n．
先根据n的个位数的不同取值推导数列的周期，由周期可求得A=2，再由函数f（x）为R上的增函数，求得g（x）的解析式，即有bn=g（n）=1+（2n﹣1）（ ）n，再由数列的求和方法：分组求和和错位相减法，化简整理即可得到所求和．
