题目内容

【题目】设A(n)表示正整数n的个位数,an=A(n2)﹣A(n),A为数列{an}的前202项和,函数f(x)=ex﹣e+1,若函数g(x)满足f[g(x)﹣ ]=1,且bn=g(n)(n∈N*),则数列{bn}的前n项和为

【答案】n+3﹣(2n+3)?( n
【解析】解:n的个位数为1时有:an=A(n2)﹣A(n)=0,

n的个位数为2时有:an=A(n2)﹣A(n)=4﹣2=2,

n的个位数为3时有:an=A(n2)﹣A(n)=9﹣3=6,

n的个位数为4时有:an=A(n2)﹣A(n)=6﹣4=2,

n的个位数为5时有:an=A(n2)﹣A(n)=5﹣5=0,

n的个位数为6时有:an=A(n2)﹣A(n)=6﹣6=0,

n的个位数为7时有:an=A(n2)﹣A(n)=9﹣7=2,

n的个位数为8时有:an=A(n2)﹣A(n)=4﹣8=﹣4,

n的个位数为9时有:an=A(n2)﹣A(n)=1﹣9=﹣8,

n的个位数为0时有:an=A(n2)﹣A(n)=0﹣0=0,

每10个一循环,这10个数的和为:0,

202÷10=20余2,余下两个数为:a201=0,a202=2,

∴数列{an}的前202项和等于:a201+a202=0+2=2,

即有A=2.

函数函数f(x)=ex﹣e+1为R上的增函数,且f(1)=1,

f[g(x)﹣ ]=1=f(1),

可得g(x)=1+ =1+

则g(n)=1+(2n﹣1)( n

即有bn=g(n)=1+(2n﹣1)( n

则数列{bn}的前n项和为n+[1( 1+3( 2+5( 3++(2n﹣1)( n],

可令S=1( 1+3( 2+5( 3++(2n﹣1)( n

S=1( 2+3( 3+5( 4++(2n﹣1)( n+1

两式相减可得 S= +2[( 2+( 3+( 4++( n]﹣(2n﹣1)( n+1

= +2 ﹣(2n﹣1)( n+1

化简可得S=3﹣(2n+3)( n

则数列{bn}的前n项和为n+3﹣(2n+3)( n

故答案为:n+3﹣(2n+3)( n

先根据n的个位数的不同取值推导数列的周期,由周期可求得A=2,再由函数f(x)为R上的增函数,求得g(x)的解析式,即有bn=g(n)=1+(2n﹣1)( n,再由数列的求和方法:分组求和和错位相减法,化简整理即可得到所求和.

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