题目内容
16.已知{an}是一个首项为a1,公差为d的等差数列.试求:Sn=a1${C}_{n}^{0}$+a2${C}_{n}^{1}$+…+an+1${C}_{n}^{n}$(n≥1).分析 由{an}是等差数列,可得a1+an+1=a2+an=….Sn=a1${C}_{n}^{0}$+a2${C}_{n}^{1}$+…+an+1${C}_{n}^{n}$(n≥1).倒序Sn=an+1${∁}_{n}^{n}$+an${∁}_{n}^{n-1}$+…+${a}_{1}{∁}_{n}^{0}$(n≥1),再相加即可得出..
解答 解:由{an}是等差数列,∴a1+an+1=a2+an=….
Sn=a1${C}_{n}^{0}$+a2${C}_{n}^{1}$+…+an+1${C}_{n}^{n}$(n≥1).
倒序Sn=an+1${∁}_{n}^{n}$+an${∁}_{n}^{n-1}$+…+${a}_{1}{∁}_{n}^{0}$(n≥1).
相加可得:2Sn=(a1+an+1)${∁}_{n}^{0}$+(a2+an)${∁}_{n}^{1}$+…+(an+1+a1)${∁}_{n}^{n}$=(a1+an+1)$({∁}_{n}^{0}+{∁}_{n}^{1}+…+{∁}_{n}^{n})$=(a1+an+1)•2n=(2a1+nd)•2n.
∴Sn=(2a1+nd)•2n-1.
点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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