题目内容
【题目】已知椭圆
过点
，离心率为
，
分别为左右焦点.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若
上存在两个点
，椭圆上有两个点
满足
三点共线，
三点共线，且
，求四边形
面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法，根据题意可列两个独立条件
，及
，解得
，
（2）因为
，所以
，先根据抛物线定义可求焦点弦长
，再根据直线与椭圆联立方程组，结合韦达定理求弦长
，最后根据一元函数解析式求值域
试题解析：（1）由题意得：，
，得
，则方程
因为椭圆过点
，解得
，所以，
所以椭圆
方程为：.
（2）当直线
斜率不存在时，直线
的斜率为0，易得
，
，
当直线斜率存在时，设直线方程为：
，与
联立得
令
，则
，
，
因为
，所以直线
的方程为：
将直线与椭圆联立得：
，
令
，
，
由弦长公式
所以四边形
的面积
，令
上式
所以综上，.
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