Question

【题目】如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．

（Ⅰ）证明：DE∥平面BCF；

（Ⅱ）证明：CF⊥平面ABF；

（Ⅲ）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先证明DE∥BC，然后，根据线面平行的判定定理，容易得到结论；（Ⅱ）可以通过证明AF⊥CF和CF⊥BF，从而证明CF⊥平面ABF；（Ⅲ）根据（Ⅰ）容易得到：GE⊥平面DFG，然后借助于体积公式进行求解

试题解析：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，

∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，

∴DE∥BC．

又∵DE平面BCF，BC平面BCF，

∴DE∥平面BCF． …………………4分

（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．

∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．

又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF． …………………8分

（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．

∴=．………12分