Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线方程为。

（1）求、的值；

（2）如果当，且时， ，求的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）， （2）（-，0]

【解析】（1）

由于直线的斜率为，且过点，故即

解得， 。

（2）由（1）知，所以

。

考虑函数 ，则。

(i)设，由知，当时， ，h(x)递减。而故当时， ，可得；

当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0

从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）设0<k<1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x=.当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

（iii）设k1.此时， （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

综合得，k的取值范围为（-，0]