Question

16．已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数
（1）求a的值；
（2）讨论关于x的方程$\frac{lnx}{f（x）}={x}^{2}$-2ex+e²+$\frac{1}{e}$的根的个数；
（3）若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数性质f（0）=0，求出a值
（2）构造函数，利用函数交点解决根的问题
（3）构造函数，恒成立问题转换为最值问题，通过一次函数进行求解．$\frac{1}{e}$$\frac{1}{e}$$\frac{1}{e}$$\frac{1}{e}$$\frac{1}{e}$

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（e^x+a）是R上的奇函数
∴f（0）=0，∴f（0）=ln（e⁰+a）=0
∴ln（1+a）=0
∴a=0
（2）由（I）知f（x）=x
令f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$
f₂（x）=x²-2ex+e²+$\frac{1}{e}$
∵f1′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$
∴当x∈（0，e）时，f₁′（x）＞0，∴f₁（x）在（0，e）上为增函数
当x∈（e，+∞）时，f₁′（x）＜0，∴f₁（x）在（e，+∞）上为减函数
∴当x=e时，f₁（x）_max=f₁（e）=$\frac{1}{e}$
而f₂（x）=（x-e）²+$\frac{1}{e}$，当x=e时，f₂（x）_min=f₂（e）=$\frac{1}{e}$
故函数根的个数为1个．
（3）由（I）知f（x）=x
g′（x）=λ+cosx
又∵g（x）在[-1，1]上单调递减
∴g'（x）≤0在[-1，1]上恒成立
∴λ≤-cosx对x∈[-1，1]恒成立
∵[-cosx]_min=-1
∴λ≤-1
∵g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，即g（x）max≤t2+λt+1
∵g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1
∴-λ-sin1≤t²+λt+1
即（t+1）λ+t²+sin1+1≥0对λ≤-1恒成立
令F（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1（λ≤-1）
∴t+1≤0
F（-1）≥0
∵F（-1）=t²-t+sin1在t≤-1时恒大于零
∴t≤-1．

点评 此题综合性强，考察了奇函数性质，利用导数判断函数单调性，恒成立问题转换为最值问题．