Question

【题目】如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？

Answer 1

【答案】30

【解析】试题分析：解法一：连接，依题意可得，求得的值，推断出是等比三角形，进而求得，在中，利用余弦定理求得的值，进而求得乙船的速度

解法二：连接，先计算出，从而得到，由余弦定理计算出，再计算出，得到，解三角形求出的值

解析：解法一：如图，连结A1B2，

由题意知A2B2＝10 n mile，A1A2＝30×＝10 n mile．

所以A1A2＝A2B2．

又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，

所以△A1A2B2是等边三角形．

所以A1B2＝A1A2＝10 n mile．

由题意知，A1B1＝20 n mile，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，

在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200．

所以B1B2＝10 n mile．

因此，乙船速度的大小为×60＝30(n mile/h)．

答：乙船每小时航行30 n mile．

解法二：如下图所示，连结A2B1，

由题意知A1B1＝20 n mile，A1A2＝30×

＝10 n mile，∠B1A1A2＝105°，

又cos105°＝cos(45°＋60°)

＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝，

sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°

＝，

在△A2A1B1中，由余弦定理，得A2B＝A1B＋A1A－2A1B1·A1A2·cos105°＝202＋(10)2－2×20×10×＝100(4＋2)，

所以A2B1＝10(1＋)n mile

由正弦定理，得sin∠A1A2B1＝·sin∠B1A1A2＝×＝，

所以∠A1A2B1＝45°，即∠B1A2B2＝60°－45°＝15°，cos15°＝sin105°＝．

在△B1A2B2中，由题知A2B2＝10 n mile，

由余弦定理，得B1B＝A2B＋A2B－2A2B1·A2B2·cos15°＝102(1＋)2＋(10)2－2×10(1＋)×10×＝200，

所以B1B2＝10 n mile，故乙船速度的大小为×60＝30(n mile/h)．

答：乙船每小时航行30 n mile．