题目内容
【题目】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在平行于OA的直线,使得直线
与椭圆C有公共点,且直线OA与
的距离等于4?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)=1(2)直线l不存在
【解析】试题分析:(1)先设出椭圆C的标准方程,进而根据焦点和椭圆的定义求得c和a,进而求得b,则椭圆的方程可得.(2)先假设直线存在,设出直线方程与椭圆方程联立消去y,进而根据判别式大于0求得t的范围,进而根据直线OA与l的距离求得t,最后验证t不符合题意,则结论可得
试题解析::(1)依题意,可设椭圆C的方程为,且可知左焦点为 F(-2,0),从而有
解得
又
所以
故椭圆C的方程为
.
(2)假设存在符合题意的直线,其方程为
由
得
,因为直线
与椭圆有公共点,所以有
解得
,另一方面,由直线OA与
的距离
,从而
,由于
,所以符合题意的直线
不存在
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