题目内容
【题目】已知函数
(1)当时,求函数
的单调区间.
(2)当且
时,不等式
在
上恒成立,求k的最大值.
【答案】(1) 增区间为(e﹣3,+∞),减区间为(0,e﹣3)(2)3
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)分离参数,问题转化为k<对任意x>1恒成立,根据函数的单调性求出k的最大值即可.
解析:
(1)∵a=2,∴f(x)=2x+xlnx,定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=3+lnx,由f′(x)>0得到x>e﹣3,由f′(x)<0得到x<e﹣3,
∴函数f(x)=2x+xlnx的增区间为(e﹣3,+∞),减区间为(0,e﹣3).
(2)当x>1时,x﹣1>0,故不等式k(x﹣1)<f(x)k<,
即k<对任意x>1恒成立.
令g(x)=,则g′(x)
,
令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),
则h′(x)=1﹣=
>0h(x)在(1,+∞)上单增.
∵h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣ln4>0,
∴存在x0∈(3,4)使h(x0)=0,
即当1<x<x0时,h(x)<0,即g′(x)<0,
当x>x0时,h(x)>0,即g′(x)>0,
∴g(x)在(1,x0)上单减,在(x0,+∞)上单增.
令h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,即lnx0=x0﹣2,
g(x)min=g(x0)= =x0∈(3,4),
∴k<g(x)min=x0且k∈Z,
即kmax=3.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】据统计2018年春节期间微信红包收发总量达到460亿个。收发红包成了生活的“调味剂”。某网络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境下,对它们抢到的红包个数进行统计,得到如下数据:
型号 手机品牌 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ |
甲品牌(个) | 4 | 3 | 8 | 6 | 12 |
乙品牌(个) | 5 | 7 | 9 | 4 | 3 |
(Ⅰ)如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”,否则“非优”,请据此判断是否有85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关?
(Ⅱ)如果不考虑其它因素,要从甲品牌的5种型号中选出2种型号的手机进行大规模宣传销售.求型号Ⅰ或型号Ⅱ被选中的概率.
下面临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式: