Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m+3，m-cos²α），$\overrightarrow{b}$=（n，$\frac{n}{2}$+sinα），其中m，n，α为实数，若$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，则$\frac{m}{n}$的取值范围是（　　）

• A． [-1，$\frac{7}{5}$]
• B． [0，$\frac{7}{4}$]
• C． [-2，$\frac{7}{3}$]
• D． [-2，$\frac{7}{5}$]

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{b}$便可得到$\left\{\begin{array}{l}{m+3=2n}\\{m-co{s}^{2}α=n+2sinα}\end{array}\right.$，这样解出m，n，从而得到$\frac{m}{n}=2-\frac{3}{co{s}^{2}α+2sinα+3}$．而cos²α+2sinα+3=-（sinα-1）²+5，根据-≤sinα≤1即可得出cos²α+2sinα+3的范围，从而得出$\frac{1}{co{s}^{2}α+2sinα+3}$的范围，进一步得出$\frac{m}{n}$的范围．

解答 解：$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{b}$；
∴（m+3，m-cos²α）=（2n，n+2sinα）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+3=2n}\\{m-co{s}^{2}α=n+2sinα}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2co{s}^{2}α+4sinα+3}\\{n=co{s}^{2}α+2sinα+3}\end{array}\right.$；
∴$\frac{m}{n}=\frac{2co{s}^{2}α+4sinα+3}{co{s}^{2}α+2sinα+3}=2-\frac{3}{co{s}^{2}α+2sinα+3}$；
cos²α+2sinα+3=1-sin²α+2sinα+3=-（sinα-1）²+5；
-1≤sinα≤1，∴-（-1-1）²+5≤cos²α+2sinα+3≤-（1-1）²+5；
∴1≤cos²α+2sinα+3≤5；
∴$\frac{1}{5}≤\frac{1}{co{s}^{2}α+2sinα+3}≤1$；
∴$-1≤\frac{m}{n}≤\frac{7}{5}$；
∴$\frac{m}{n}$的范围为：$[-1，\frac{7}{5}]$．
故选：A．

点评 考查向量坐标的数乘运算，向量相等时对应坐标相等，以及配方法处理二次式子，以及二次函数的单调性，不等式的性质．