Question

1．是否存在β∈（0，$\frac{π}{2}$），使得关于x的方程x²-4xcosβ+2=0和x²-4xsinβ-2=0有一个实数解相等？如果存在，求出β；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 假设存在这样的β，使得两个方程有相同的根m，求出sinβ，cosβ，再由平方关系，可得m的值，进而得到β．

解答 解：假设存在这样的β，使得两个方程有相同的根m，
∴m²-4mcosβ+2=0且m²-4msinβ-2=0，
∴cosβ=$\frac{{m}^{2}+2}{4m}$，sinβ=$\frac{{m}^{2}-2}{4m}$．
由β∈（0，$\frac{π}{2}$），则sinβ＞0，cosβ＞0，
则m＞0且m²＞2，
上面两个式子，两边平方再相加，可得
16m²=m⁴+4m²+4+m⁴-4m²+4，
整理可得：m²=4+2$\sqrt{3}$，解得m=1+$\sqrt{3}$．
代入到上面式子里，可得：
sinβ=$\frac{1}{2}$，cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
结合0＜β＜$\frac{π}{2}$，
可知：β=$\frac{π}{6}$．
故存在β，且β=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查存在性问题的解法，考查同角的基本关系式的运用，考查运算能力，属于中档题．