Question

5．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，O为其中心，M，N分别是BC，DE上的动点，且|$\overrightarrow{BM}$|=|$\overrightarrow{DN}$|．
（1）若M，N分别是BC，DE的中点，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的值；
（2）求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）以O为原点，CF所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系．求得C，B，D，E的坐标，由中点坐标公式可得M，N的坐标，再由数量积的坐标表示可得所求值；
（2）设|$\overrightarrow{BM}$|=|$\overrightarrow{DN}$|=t（0≤t≤1），则$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DN}$=t$\overrightarrow{DE}$，求得M，N的坐标，求得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的关于t的二次函数，再由对称轴和区间的关系，即可得到所求范围．

解答 解：91）以O为原点，CF所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系．
即有C（1，0），B（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
M，N分别是BC，DE的中点，即有M（$\frac{3}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），N（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{4}$×0+（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{3}{8}$；
（2）设|$\overrightarrow{BM}$|=|$\overrightarrow{DN}$|=t（0≤t≤1），
则$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DN}$=t$\overrightarrow{DE}$，
由（1）可得$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（-1，0），
$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{ON}$=（-t+$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
即有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=（$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$）（$\frac{1}{2}$-t）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（t-t²-1）=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{8}$，
由$\frac{1}{2}$∈[0，1]，则t=$\frac{1}{2}$是，取得最大值-$\frac{3}{8}$；
t=0（或1）时，取得最小值-$\frac{1}{2}$．
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{8}$]．

点评 本题主要考查向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力和二次函数的最值求法，注意坐标法思想的运用．