Question

【题目】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO= ．

（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，

过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，

∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，

∴∠ABF=∠BCE，

∴ ．

设AF=4x（m），则BF=3x（m）．

∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，

∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），

∴BE=（3x+60）m．

∵ ，

∴CE= （m）．

∴ （m）．

∴ ，

解得：x=20．

∴BE=120m，CE=90m，

则BC=150m

（2）解：如图，

设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，

∵∠POM=∠PQC=90°，

∴∠PMO=∠BCO．

设OM=xm，则OP= m，PM= m．

∴PC= m，PQ= m．

设⊙M半径为R，

∴R=MQ= m= m．

∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，

则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，

∴136﹣ ﹣（60﹣x）≥80，136﹣ ﹣x≥80．

解得：10≤x≤35．

∴当且仅当x=10时R取到最大值．

∴OM=10m时，保护区面积最大．

【解析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．