题目内容
已知过曲线上任意一点作直线的垂线,垂足为,且.
⑴求曲线的方程;
⑵设、是曲线上两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,
当变化且为定值时,证明直线恒过定点,
并求出该定点的坐标.
⑴求曲线的方程;
⑵设、是曲线上两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,
当变化且为定值时,证明直线恒过定点,
并求出该定点的坐标.
⑴
⑵当时,直线恒过定点,当时直线恒过定点.
⑵当时,直线恒过定点,当时直线恒过定点.
试题分析:⑴要求曲线方程,但是不知道是哪种曲线,所以只能设点.根据,转化为求曲线方程即可;
⑵要证明直线恒过定点,必须得有直线方程,所以首先设出直线方程.又因为两个角是直线和的倾斜角,所以点也得设出来.利用韦达定理,然后讨论的范围变化,证明并得出定点坐标.
试题解析:⑴设,则,由得,;
即;所以轨迹方程为;
⑵设,由题意得(否则)且,
所以直线的斜率存在,设其方程为,
因为在抛物线上,所以,
将与联立消去,得;
由韦达定理知①;
(1)当时,即时,,所以,
,所以.由①知:,所以
因此直线的方程可表示为,即.
所以直线恒过定点
(2)当时,由,得==
将①式代入上式整理化简可得:,所以,
此时,直线的方程可表示为,
即,所以直线恒过定点;
所以由(1)(2)知,当时,直线恒过定点,
当时直线恒过定点. 12分
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