Question

18．若关于x的方程x³-x²-x+a=0（a∈R）有三个实根x₁，x₂，x₃，且满足x₁＜x₂＜x₃，则a的取值范围为（　　）

• A． a＞$\frac{5}{27}$
• B． -$\frac{5}{27}$＜a＜1
• C． a＜-1
• D． a＞-1

Answer 1

分析 由x³-x²-x+a=0得-a=x³-x²-x，构造函数f（x）=x³-x²-x，利用导数求出函数f（x）的极值，即可得到结论．

解答 解：由x³-x²-x+a=0得-a=x³-x²-x，
设f（x）=x³-x²-x，则函数的导数f′（x）=3x²-2x-1，
由f′（x）＞0得x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，此时函数单调递减，
即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1-1-1=-1，
在x=-$\frac{1}{3}$时，函数取得极大值f（-$\frac{1}{3}$）=（-$\frac{1}{3}$）³-（-$\frac{1}{3}$）²-（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{5}{27}$，
要使方程x³-x²-x+a=0（a∈R）有三个实根x₁，x₂，x₃，
则-1＜-a＜$\frac{5}{27}$，
即-$\frac{5}{27}$＜a＜1，
故选：B．

点评 本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．