题目内容

3.已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$,θ∈[π,2π],若以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,曲线C2的极坐标方程为$ρsin({θ+\frac{π}{4}})=\sqrt{2}({ρ>0,θ∈[{0,\frac{π}{2}}]})$,那么C1上的点到曲线C2上的点的距离的最小值为$2\sqrt{5}$-1.

分析 曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$,θ∈[π,2π],利用cos2θ+sin2θ=1即可化为直角坐标方程.曲线C2的极坐标方程为$ρsin({θ+\frac{π}{4}})=\sqrt{2}({ρ>0,θ∈[{0,\frac{π}{2}}]})$,展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}(ρsinθ+ρcosθ)$=$\sqrt{2}$,把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得到直角坐标方程.即可得出C1上的点到曲线C2上的点的距离的最小值.

解答 解:曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$,θ∈[π,2π],化为(x+4)2+y2=1,可得圆心C1(-4,0),半径r=1.
曲线C2的极坐标方程为$ρsin({θ+\frac{π}{4}})=\sqrt{2}({ρ>0,θ∈[{0,\frac{π}{2}}]})$,展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}(ρsinθ+ρcosθ)$=$\sqrt{2}$,
∴y+x-2=0.(x,y≥0).
∴C1上的点到曲线C2上的点的距离的最小值d=$\sqrt{(-4)^{2}+{2}^{2}}$-1=2$\sqrt{5}$-1.
故答案为:$2\sqrt{5}$-1.

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式,考查了数形结合方法、推理能力与计算能力,属于中档题.

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