题目内容
4.在△ABC中,a,b,c为∠A,∠B,∠C的对边,acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状是直角三角形.分析 由已知及正弦定理,倍角公式可得:sin2A+sin2B=sin2C,和差化积可得2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC,解得cos(A-B)=cosC,从而可得:A=$\frac{π}{2}$,或 B=$\frac{π}{2}$,即可得解.
解答 解:在△ABC中,若acosA+bcosB=ccosC,
则 sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC,
∴sin2A+sin2B=sin2C,
∴2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC,
∴cos(A-B)=cosC,
∴A-B=C,或B-A=C,即A=B+C,或B=A+C.
再根据 A+B+C=π,可得A=$\frac{π}{2}$,或B=$\frac{π}{2}$,
故△ABC的形状是直角三角形.
故答案为:直角三角形.
点评 本题主要考查了正弦定理,倍角公式,和差化积公式的应用,考查了分析问题和解决问题的能力,属于基本知识的考查.
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