Question

14．已知y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）相邻两条对称轴为x=$\frac{π}{12}$，x=$\frac{5π}{12}$．
（1）求ω和φ的值；
（2）求函数单调区间．

Answer 1

分析 （1）首先，结合对称轴，得到周期，从而求解ω=3，然后确定φ=$\frac{π}{4}$；
（2）根据（1），得到该函数解析式，然后，根据三角函数的单调性求解单调区间即可．

解答 解：（1）∵y相邻两条对称轴为x=$\frac{π}{12}$，x=$\frac{5π}{12}$．
∴$\frac{T}{2}=\frac{5π}{12}-\frac{π}{12}=\frac{4π}{12}=\frac{π}{3}$，
∴T=$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=3，
∵2sin（3×$\frac{π}{12}$+φ）=±2，
∴sin（$\frac{π}{4}$+φ）=±1，
∴$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}+kπ$，
∴φ=$\frac{π}{4}$+kπ，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$
∴φ=$\frac{π}{4}$．
（2）根据（1）得
f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{4}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤3x≤$\frac{π}{4}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{4}$+$\frac{2kπ}{3}$≤x≤$\frac{π}{12}$+$\frac{2kπ}{3}$，
∴该函数的单调增区间为：[-$\frac{π}{4}$+$\frac{2kπ}{3}$，$\frac{π}{12}$+$\frac{2kπ}{3}$]，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，
∴$\frac{π}{4}$+2kπ≤3x≤$\frac{5π}{4}$+2kπ，
∴$\frac{π}{12}$+$\frac{2kπ}{3}$≤x≤$\frac{5π}{12}$+$\frac{2kπ}{3}$，
∴该函数的单调减区间为：[$\frac{π}{12}$+$\frac{2kπ}{3}$，$\frac{5π}{12}$+$\frac{2kπ}{3}$]．

点评 本题重点考查了三角函数的周期性和对称性、单调性和单调区间的求解方法等知识，属于中档题．