Question

直线l：y=mx+1，双曲线C：3x²-y²=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．

Answer 1

解：假设存在m值满足条件，
设A、B坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），
由得：（3-m²）x²-2mx-2=0，
则3-m²≠0，且△=4m²-4（3-m²）（-2）＞0，得m²＜6且m²≠3①，
由韦达定理有：，，
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x₁x₂+（mx₁+1）（mx₂+1）=0，即（1+m²）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=0，
所以（1+m²）+m+1=0，解得m=±1，
故存在m=1或m=-1使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
分析：假设存在m值满足条件，设A、B坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），联立直线方程与双曲线方程，消掉y后得x的二次方程，有△＞0，由以AB为直径的圆过原点得OA⊥OB，即，从而可转化为关于A、B坐标的关系式，由直线方程可进一步化为x₁，x₂的式子，将韦达定理代入即可得m的方程，解出m后检验是否满足△＞0即可．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆的性质，考查转化思想，解决本题的关键是正确理解“以AB为直径的圆过原点”并能合理转化．