Question

椭圆C的中心在原点，并以双曲线

y2

4

-

x2

2

=1的焦点为焦点，以抛物线x2=-6

6

y的准线到原点的距离为

a2

c

（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线l′：y=mx+1（m≠0）对称，求k的值．

Answer 1

分析：（1）确定双曲线的焦点坐标，抛物线的准线方程，利用条件，求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）根据题设，可得m=-

1

k

，利用kAB•

y0

x0

=-

a2

b2

，结合弦AB的中点在直线上，即可求得k的值．

解答：解：（1）在双曲线

y2

4

-

x2

2

=1中，a=2，b=

2

，c=

a2+b2

=

6

，
∴焦点为F1(0，-

6

)，F2(，

6

)．
在抛物线x2=-2

6

y中，p=

6

，∴准线为y=

6

2

．
∴在椭圆中，

a2

c

=

6

2

．从而a=3，b=

3

．
∴所求椭圆C的方程为

y2

9

+

x2

3

=1．
（2）设弦AB的中点为P（x₀，y₀），则点P是直线l与直线l′的交点，且直线l⊥l′，∴m=-

1

k

．
由kAB•

y0

x0

=-

a2

b2

得：k•

y0

x0

=-3，∴ky₀=-3x₀．…①
由y0=-

1

k

•x0+1得：ky₀=-x₀+k．…②
由①、②得：x0=-

k

2

，y0=

3

2

．
又∵y₀=kx₀+2，∴

3

2

=-k•

k

2

+2，即k²=1，∴k=±1．
在y=kx+2中，当x=0时，y=2，即直线l经过定点M（0，2）．
而定点M（0，2）在椭圆的内部，故直线l与椭圆一定相交于两个不同的交点，
∴k的值为±1．

点评：本题考查椭圆的方程，考查双曲线、抛物线的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．