题目内容

已知直线l:y=mx+1与曲线C:ax2+y2=2(m,a∈R)交于A、B两点.
(1)当m=0时,有∠AOB=
π
3
,求曲线P的方程;
(2)是否存在常数M,使得对于任意的a∈(0,1),m∈R,都有
OA
OB
<M恒成立?如果存在,求出的M得最小值;如果不存在,说明理由.
分析:(1)直线方程为y=1,代入曲线C:ax2+y2=2求得A,B的坐标,利用∠AOB=
π
3
可求曲线的方程;
(2)将直线l:y=mx+1与曲线C:ax2+y2=2联立,化简得(a+m2)x2+2mx-1=0,假设点A,B的坐标,利用
OA
=
m2-1
m2+a
+1,求得对于任意的a∈(0,1),m∈R,它的最大值小于2,故取M的值大于2时,都有
OA
OB
<M恒成立,故存在常数M,使得对于任意的a∈(0,1),m∈R,都有
OA
OB
<M恒成立且M得最小值为:2.
解答:解:(1)由题意,直线方程为y=1,代入曲线C:ax2+y2=2可得 A(-
1
a
,1
),B(
1
a
,1
),
∵∠AOB=
π
3
,∴tan
π
6
=
1
a
,∴a=3
∴曲线C的方程为3x2+y2=2.
(2)将直线l:y=mx+1与曲线C:ax2+y2=2联立,化简得(a+m2)x2+2mx-1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则知 x1+x2=-
2m
m2+a
,x1x2=-
1
m2+a

OA
OB
=x1x2+y1y2=
-1
m2+a
+(mx1+1)(mx2+1)
=
m2-1
m2+a
+1
=2+
1-a
m2+a

对于任意的a∈(0,1),m∈R,
OA
OB
的最大值小于2.
∴取M大于等于2时,都有
OA
OB
<M恒成立,
故存在M,使得对于任意的a∈(0,1),m∈R,都有
OA
OB
<M恒成立,且M的最小值为2.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,解题的关键是结合韦达定理,利用函数思想分析求解.
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