Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0，

2

）为圆心、1为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程．
（2）设直线l：y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据两条渐近线与圆x2+(y-

2

)2=1相切，可得双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．利用双曲线C的一个焦点为(

2

，0)，可得a²=1，从而可求双曲线C的方程．
（2）直线与双曲线方程联立消去y，得到关于x的二次方程，进而根据直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根求得m的范围．

解答：解：（1）设双曲线C的一条渐近线方程为y=kx，则kx-y=0．
∵该直线与圆x2+(y-

2

)2=1相切，
得：1=

|k×0- 2 |

k2+1

⇒k=±1
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x，
故设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1
又双曲线C的一个焦点为（

2

，0），
∴2a²=2，a²=1，
∴双曲线C的方程为x²-y²=1
（2）由

y=mx+1 x2-y2=1

得（1-m²）x²-2mx-2=0
令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等的实根．
∴

△＞0 2m 1-m2 ＜0且 -2 1-m2 ＞0

解得1＜m＜

2

．
∴实数m的取值范围：1＜m＜

2

．

点评：本题以直线与圆的位置关系为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系解题的关键是将直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根，从而确定m的范围，属于基础题．