题目内容

已知直线l:y=mx+1与曲线C:ax2+y2=2(m、a∈R)交于A、B两点,O为坐标原点.
(1)当m=0时,有∠AOB=
π
3
,求曲线C的方程;
(2)当实数a为何值时,对任意m∈R,都有
OA
OB
为定值T?指出T的值;
(3)已知点M(0,-1),当a=-2,m变化时,动点P满足
MP
=
OA
+
OB
,求动点P的纵坐标的变化范围.
分析:(1)当m=0时,推出A,B的坐标,利用∠AOB=
π
3
,求出a的值,即可得到曲线C的方程;
(2)设A、B两点坐标为(x1,y1)、(x2,y2),联立方程,通过韦达定理结合
OA
OB
的表达式为定值T,即可求出a的值以及T的值;
(3)设出动点P,求出
MP
=
OA
+
OB
,结合(2)求出y=
2+m2
2-m2
,通过判别式求出m的范围,即可求动点P的纵坐标的变化范围.
解答:解:(1)当m=0时,联立方程可得:ax2=1,∴x=±
1
a

A(
1
a
,1)
B(-
1
a
,1)
,∵∠AOB=
π
3
,∴
1
2
=
-
1
a
+1
1
a
+1
解得:a=3,
∴方程为
3x2
2
+
y2
2
=1

(2)设A、B两点坐标为(x1,y1)、(x2,y2),联立方程:
y=mx+1
ax2+y2=2
可得:
(a+m2)x2+2mx-1=0
x1+x2=-
2m
a+m2
x1x2=-
1
a+m2

OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+(mx1+1)(mx2+1)
=(m2+1)x1x2+m(x1+x2)+1=-
m2+1
a+m2
-
2m2
a+m2
+1=
a-2m2-1
a+m2

要使
OA
OB
=T
,则-2m2+(a-1)=Tm2+Ta∴T=-2且a-1=Ta即a=
1
3
且T=-2
而当a=
1
3
时,
1
3
+m2≠0
△=4m2+4(
1
3
+m2)=8m2+
4
3
>0
恒成立∴当实数a=
1
3
时,对任意m∈R,都有
OA
OB
=-2

(3)设P(x,y),∴
MP
=(x,y+1)
,∴y+1=y1+y2=m(x1+x2)+2=
4
2-m2
y=
2+m2
2-m2

又对方程(m2-2)x2+2mx-1=0,△=8m2-8>0,∴m2>1且m2≠2
y=-1+
4
2-m2
,∴y>3或y<-1
点评:本题难题,考查曲线的轨迹方程的求法,韦达定理的应用,向量的数量积的计算以及判别式的应用,考查计算能力,转化思想,整体思想的应用,变量范围问题一般通过一个等式与一个不等式求解.
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