Question

【题目】函数f（x）= 是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（ ）= ．
（1）求实数a、b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x）

即 =﹣ ，﹣ax+b=﹣ax﹣b，

∴b=0，（或直接利用f（0）=0，解得b=0）．

∴f（x）= ，

∵f（ ）= ，

∴ 解得a=1，

∴f（x）=

（2）解：f（x）在（﹣1，1）上是增函数．

证明如下：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= =

∵﹣1＜x1＜x2＜1，

∴﹣1＜x1x2＜1，x1﹣x20， , ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数

【解析】（1）根据函数是奇函数，可得f（0）=0，再根据f（ ）= ，列出关于a，b的方程组，求出即可得解析式；（2）用函数单调性定义证明，任取x1 ， x2∈（﹣1，1），且x1＜x2 ， f（x1）﹣f（x2）作差与0比较，从而证明函数的单调性．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)，还要掌握函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)的相关知识才是答题的关键．