Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，

直线与椭圆的一个交点为，点是椭圆上的任意—点，延长交椭圆于点，连接.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的内切圆的最大周长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求椭圆标准方程，只要有两个独立条件就可求得，本题中焦点告诉我们，是椭圆上一点，可以把它代入椭圆方程得的一个方程，也可根据定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为，可易得，从而得方程；（2）的边过椭圆的另一焦点，其周长有性质：周长为定值，因此由三角形内切圆与三角形的关系（通过面积法）知要内切圆周长最大，只要三角形的面积最大，注意到，因此只要最大即可，这个最大值在轴时取得．

试题解析：（1）由题意，椭圆的半焦距.

因为椭圆过点，所以,解得.

所以椭圆的方程为.

（2）设的内切圆的半径为.则.由椭圆的定义，得，所以.所以.即.

为此，求的内切圆的最大周长，可先求其最大半径，进一步转化为可先求的最大面积。显然，当轴时，取最大面积，此时，点，

取最大面积是故.

故的内切圆的最大周长为．