题目内容
【题目】已知抛物线的焦点为
,过点
且斜率为
的直线
交曲线
于
两点,交圆
于
两点(
两点相邻).
(Ⅰ)若,当
时,求
的取值范围;
(Ⅱ)过两点分别作曲线
的切线
,两切线交于点
,求
与
面积之积的最小值.
【答案】(1) (2)
取最小值1
【解析】试题分析:(1)直线的方程为
,代入
得
,根据韦达定理以及向量共线的条件可得
,结合
可得
的取值范围;(2)利用导数的几何意义以及直线的点斜式方程可得切线
方程为
,
方程为
,两式联立结合韦达定理可得
,利用点到直线距离公式、焦半径公式以及三角形的面积公式可得
,当且仅当
时,
取最小值1.
试题解析:(Ⅰ)依题意直线的方程为
,代入
得
,
设,则
.
因为,即
,即
;
因为,所以
,又函数
在
单调递减,
所以,
(Ⅱ)因为,所以
则切线方程为
①
方程为
②
②--①得,
③,
将③代入①得,所以
到直线
的距离
,
,
因为,
所以
,
当且仅当时,
取最小值1.
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