Question

13．已知a₁=1，a_n+1=3a_n+5×2ⁿ+4，求a_n．

Answer 1

分析 由a_n+1=3a_n+5×2ⁿ+4，可得a_n+1+5×2ⁿ⁺¹+2=3（a_n+5×2ⁿ+2），构造b_n=a_n+5×2ⁿ+2，则b₁=13，可得{b_n}是以13为首项，3为公比的等比数列，即可求a_n．

解答 解：∵a_n+1=3a_n+5×2ⁿ+4，
∴a_n+1+5×2ⁿ⁺¹+2=3（a_n+5×2ⁿ+2），
构造b_n=a_n+5×2ⁿ+2，则b₁=13
∴{b_n}是以13为首项，3为公比的等比数列．
进而可得a_n+5×2ⁿ+2=13×3^n-1，
∴a_n=13×3^n-1-5×2ⁿ-2．

点评 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，正确变形是关键．