题目内容
【题目】已知椭圆
：
的短轴长为2，以椭圆的长轴为直径的圆与直线
相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为
的直线
交椭圆于
，
两点，且
，若直线
上存在点
，使得
是以
为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）先由短轴长求出
的值，再根据点到直线的距离公式求出
的值即可；（2）设直线
的方程为
，先由
得
，则
，
，再根据直线
上存在点
，使得
是以
为顶角的等腰直角三角形，得出
，最后由方程组
即可求出
的值进而求出直线的方程.
（1）由题意得
，
，则
，所以椭圆
的方程为.
（2）设直线的方程为，
，
由得.
令
，得
，则，.
因为是以为顶角的等腰直角三角形，
所以
平行于
轴，过
作的垂线，则垂足
为线段的中点.
设点的坐标为
，则
.
由方程组解得
，即
.
而
，所以直线的方程为.
【题目】第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
组别 |
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频数 | 5 | 30 | 40 | 50 | 45 | 20 | 10 |
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设
，
分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，
的值四舍五入取整数），并计算
；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为
，抽中价值为30元的纪念品B的概率为
.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.
（参考数据：
；
；
.）
