Question

【题目】已知椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，并且经过点.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（II） 设椭圆C短轴的上顶点为P，直线不经过P点且与相交于、两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为，判断直线是否过定点，若是，求出这个定点，否则说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（II）过定点。

【解析】

（Ⅰ）推导出，从而焦点F1（，0），F2（，0），由椭圆定义得a＝2，b＝1，由此能求出椭圆的标准方程．

（II）先考虑斜率不存在时，不存在两个交点，舍去，斜率存在时设直线l方程为：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由得及，代入1中，得到m＝﹣2k﹣1，代入直线方程即可得到定点．

（Ⅰ）双曲线的焦点为,,亦即椭圆C的焦点，

∴，

又椭圆经过点.

由椭圆定义得，

解得，

∴椭圆的方程为：．
（II）当斜率不存在时，设，

，

得t=2，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意.

当斜率存在时，设，

，

联立，整理得 ，

，

，

，此时，存在使得成立．

∴直线的方程为，即，

当，时，上式恒成立，所以过定点．