题目内容
【题目】己知函数.
(1)证明:当恒成立;
(2)若函数恰有一个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)或
【解析】
(1)令,要证
在
上恒成立,只需证
,
;
(2)函数,定义域为
,
.对a分类讨论,研究函数的单调性及最值,以确定图象与x轴的交点情况.
(1)证明:令,
要证在
上恒成立,
只需证,
,
因为,
所以.
令,
则,
因为,所以
,
所以在
上单调递增,
所以,即
,
因为,所以
,所以
,
所以在
上单调递增,
所以,
,
故在
上恒成立.
(2)函数,定义域为
,
.
①当时,
无零点.
②当时,
,所以
在
上单调递增,
取,则
,(或:因为
且
时,所以
.)
因为,所以
,此时函数
有一个零点.
③当时,令
,解得
.
当时,
,所以
在
上单调递减;
当时,
,所以
在
上单调递增.
所以
.
若,即
时,
取,
,即函数
在区间
上存在一个零点;
当时,因为
,所以
,
则有,
,必然存在
,使得
,即函数
在区间
存在一个零点;
故当时,函数
在
上有两个零点,不符合题意.……11分
所以当时,要使函数
有一个零点,必有
,
即.
综上所述,若函数恰有一个零点,则
或
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】大学生赵敏利用寒假参加社会实践,对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查,销售单价和销售量
之间的一组数据如下表所示:
月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
销售单价 | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 | 8 |
销售量 | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 | 14 |
(1)根据7至11月份的数据,求出关于
的回归直线方程;
(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元,则认为所得到的回归直线方程是理想的,试问(1)中所得到的回归直线方程是否理想?
(3)预计在今后的销售中,销售量与销售单价仍然服从(1)中的关系,若该种机器配件的成本是2.5元/件,那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润?(注:利润=销售收入-成本).
参考公式:回归直线方程,其中
,参考数据:
.