题目内容
【题目】已知抛物线的方程是
，直线
交抛物线于
两点
（1）若弦AB的中点为
，求弦AB的直线方程;
（2）设
，若
，求证AB过定点.
【答案】（1）y=
x+1（2）见证明
【解析】
（1）设出A,B的坐标，结合弦AB的中点坐标，建立等式，计算直线AB的斜率，得到直线方程，即可．（2）设出AB的直线方程，代入抛物线方程，得到二次等式，结合根与系数的关系，得到AB的方程，计算定点，即可．
（1）因为抛物线的方程为
，设
，
，
则有x1 ≠x2
，
，
因为弦AB的中点为(3,3)，
两式相减得
，
所以
，经验证符合题意．
所以直线l的方程为y-3=
（x-3）,即y=x+1 ；
（2）当AB斜率存在时，设AB方程为y=kx+b代入抛物线方程：
ky2-4y+4b=0，
,，
AB方程为y=kx-3k=k(x-3)，恒过定点（3,0）.
当AB斜率不存在时，
，则x1=x2=3，过点(3,0).
综上，AB恒过定点（3,0）.
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