题目内容
【题目】已知抛物线的方程是,直线
交抛物线于
两点
(1)若弦AB的中点为,求弦AB的直线方程;
(2)设,若
,求证AB过定点.
【答案】(1)y=x+1(2)见证明
【解析】
(1)设出A,B的坐标,结合弦AB的中点坐标,建立等式,计算直线AB的斜率,得到直线方程,即可.(2)设出AB的直线方程,代入抛物线方程,得到二次等式,结合根与系数的关系,得到AB的方程,计算定点,即可.
(1)因为抛物线的方程为,设
,
,
则有x1 ≠x2
,
,
因为弦AB的中点为(3,3),
两式相减得,
所以,经验证符合题意.
所以直线l的方程为y-3=(x-3),即y=
x+1 ;
(2)当AB斜率存在时,设AB方程为y=kx+b代入抛物线方程:
ky2-4y+4b=0,
,,
AB方程为y=kx-3k=k(x-3),恒过定点(3,0).
当AB斜率不存在时,,则x1=x2=3,过点(3,0).
综上,AB恒过定点(3,0).

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