Question

【题目】如图，菱形ABCD的中心为O,四边形ODEF为矩形，平面ODEF平面ABCD，DE=DA=DB=2

（I）若G为DC的中点，求证：EG//平面BCF;

（II）若 ,求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析:（1）由平几知识得四边形为平行四边形，所以,再由线面平行判定定理得平面,由三角形中位线性质得, 再由线面平行判定定理得平面,最后根据面面平行判定定理得平面平面,即得EG//平面BCF;（2）利用空间向量求二面角,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解出各面法向量,利用向量数量积求两法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系得结果

试题解析：（1）证明：连接，由条件为中点， ,又， 四边形为平行四边形， ,平面平面。

（2） 为菱形，所以，又平面平面，四边形为矩形，所以平面,可建立如图所示的空间直角坐标系

设O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，， 0），E(-1,0,2)

F（0，0，2），H（，，0）， D（-1，0，0）， 设是面DEG的一个法向量，

则即，取.

同理取平面OEH的一个法向量是,

所以, ∴二面角D—EH—O的余弦值为.