题目内容
【题目】设函数f（x）=2ax﹣ 
+lnx，若f（x）在x=1，x= 
处取得极值， （Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）在[ 
，2]上的单调区间
（Ⅲ）在[ ，2]存在x0 ， 使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，求c的最小值．
（参考数据：e2≈7.389，e3≈20.08）
【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2ax﹣ 
+lnx， ∴f′（x）=2a﹣ 
+ 
，x＞0，
∵若f（x）在x=1，x= 
处取得极值，
∴f′（1）=0，f′（ ）=0，即2a﹣b+1=0，2a﹣4b+2=0，
解得a=﹣ 
，b= ；
（Ⅱ）f′（x）= 
，x＞0，
∵f′（x）= ＞0，
∴ 
，
∵f′（x）= ＜0， 
＜x＜2
∴ ＜x 
，1＜x＜2，
∴单调递增区间（ ，1），递减区间（ ， ），（1，2）；
（Ⅲ）f（x）=﹣ 
x- +lnx，
f（ ）=﹣ 
﹣ln2，f（2）=﹣ +ln2，f（ ）=﹣1﹣ln2
f（1）=﹣1，
f（x）在[ ，2]上的最大值为：﹣ +ln2，
最小值为：﹣1﹣ln2
∵在[ ，2]存在x0 ， 使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，
∴c≥f（x）min ， c≥﹣1﹣ln2
c的最小值为：﹣1﹣ln2
【解析】（Ⅰ）利用存在极值的条件得出f′（1）=0，f′（ 
）=0，求解．（Ⅱ）利用导数与单调性的关系f′（x）= 
＞0，f′（x）= ＜0， 
＜x＜2求解得出区间，（Ⅲ）利用导数求解最大值，最小值，根据在[ ，2]存在x0 ， 使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，c≥f（x）min ， 求解即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在
附近的左侧,右侧,那么
是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧
,那么
是极小值才能正确解答此题．
【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每天锻炼 | [0，10） | [10，20） | [20，30） | [30，40） | [40，50） | [50，60） |
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均课外课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．
（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．
参考公式： 
，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】（12分）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：
学生 | 1号 | 2号 | 3号 | 4号 | 5号 |
甲班 | 6 | 5 | 7 | 9 | 8 |
乙班 | 4 | 8 | 9 | 7 | 7 |
（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；
（2）若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作
和
，试求和的分布列和数学期望．
