题目内容
【题目】如图，已知抛物线
，在
轴正半轴上有一点
，过点
作直线
，
分别交抛物线于点
，过点作
垂直于轴分别交
于点
.当
，直线的斜率为1时，
.
（1）求抛物线的方程；
（2）判断
是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是，定值1
【解析】
（1）
，得
为焦点，所以
，再由直线与抛物线联立，利用根与系数的关系代入求解；
（2）设
，
，
，
，直线
，
，分别联立抛物线方程可得
，
，
，
.设
，
，由
，
，
三点共线，通过计算可得
，即，
关于
轴对称，从而使问题得到解决.
（1）设，，
将直线
与抛物线
联立，
得
，所以
.
由，得即为焦点，
所以
，即
，
所以抛物线的方程为.
（2）由题意可知，
，
斜率存在且不为0.
设，，，
设直线，，
与抛物线联立得，
，
，
所以，，，.
设，，由，，三点共线，又
，
，
得
.
同理，
.
所以
.
即，关于轴对称.
所以，
为定值.
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