题目内容
【题目】如图,已知抛物线,在
轴正半轴上有一点
,过点
作直线
,
分别交抛物线于点
,过点
作
垂直于
轴分别交
于点
.当
,直线
的斜率为1时,
.
(1)求抛物线的方程;
(2)判断是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)(2)是,定值1
【解析】
(1),得
为焦点,所以
,再由直线与抛物线联立,利用根与系数的关系代入求解;
(2)设,
,
,
,直线
,
,分别联立抛物线方程可得
,
,
,
.设
,
,由
,
,
三点共线,通过计算可得
,即
,
关于
轴对称,从而使问题得到解决.
(1)设,
,
将直线与抛物线
联立,
得,所以
.
由,得
即为焦点,
所以,即
,
所以抛物线的方程为.
(2)由题意可知,,
斜率存在且不为0.
设,
,
,
设直线,
,
与抛物线联立得,
,
,
所以,
,
,
.
设,
,由
,
,
三点共线,又
,
,
得
.
同理,
.
所以
.
即,
关于
轴对称.
所以,为定值.

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