题目内容
【题目】已知数列{an}的各项都是正数,a1=1,an+12=an2+ (n∈N*)
(1)求证: ≤an<2(n≥2)
(2)求证:12(a2﹣a1)+22(a3﹣a2)+…+n2(an+1﹣an)> ﹣ (n∈N*)
【答案】
(1)证明:∵an>0,an+12=an2+ ,∴an+1>an,
∴{an}是递增数列.
由a1=1,得a2= ,
当n≥2时,an+12﹣an2= ≥ ,
∴an2﹣an﹣12≥ ,an﹣12﹣an﹣22≥ ,…,a32﹣a22≥ ,
以上各式相加得:an2﹣a22≥ ( + +…+ ),
而 + +…+ ≥ + +…+ =( + +… ﹣ )= ,
∴an2﹣2≥ ,即an2≥2+ ,
∴an≥ ,
又an+12=an2+ =(an+ )2﹣ <(an+ )2,
∴an+1<an+ ,即an+1﹣an< ,
∴an﹣an﹣1< ,an﹣1﹣an﹣2< ,…,a3﹣a2< ,a2﹣a1< ,
以上各式相加得:an﹣a1< ( + +…+ )< (1+ + +…+ )= (2﹣ )<1,
∴an<a1+1=2
(2)证明:∵an+12=an2+ ,
∴n2(an+12﹣an2)=an,
∴n2(an+1﹣an)= = ﹣ ,
又an+1﹣an= < ,
∴n2(an+1﹣an)= ﹣ > ﹣ ﹣ ,
∴12(a2﹣a1)+22(a3﹣a2)+…+n2(an+1﹣an)> ﹣ ( + + +…+ )
> ﹣ (1+ + +…+ )= ﹣ (1+1﹣ )> ﹣
【解析】(1)由条件得an2﹣an﹣12≥ ,an﹣12﹣an﹣22≥ ,…,a32﹣a22≥ ,各式累加后放缩得出结论;(2)由条件得n2(an+1﹣an)= = ﹣ > ﹣ ﹣ ,各式累加后放缩得出结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用数列的前n项和和不等式的证明的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.