题目内容

【题目】已知数列{an}的各项都是正数,a1=1,an+12=an2+ (n∈N*
(1)求证: ≤an<2(n≥2)
(2)求证:12(a2﹣a1)+22(a3﹣a2)+…+n2(an+1﹣an)> (n∈N*

【答案】
(1)证明:∵an>0,an+12=an2+ ,∴an+1>an

∴{an}是递增数列.

由a1=1,得a2=

当n≥2时,an+12﹣an2=

∴an2﹣an12 ,an12﹣an22 ,…,a32﹣a22

以上各式相加得:an2﹣a22 + +…+ ),

+ +…+ + +…+ =( + +… )=

∴an2﹣2≥ ,即an2≥2+

∴an

又an+12=an2+ =(an+ 2 <(an+ 2

∴an+1<an+ ,即an+1﹣an

∴an﹣an1 ,an1﹣an2 ,…,a3﹣a2 ,a2﹣a1

以上各式相加得:an﹣a1 + +…+ )< (1+ + +…+ )= (2﹣ )<1,

∴an<a1+1=2


(2)证明:∵an+12=an2+

∴n2(an+12﹣an2)=an

∴n2(an+1﹣an)= =

又an+1﹣an=

∴n2(an+1﹣an)=

∴12(a2﹣a1)+22(a3﹣a2)+…+n2(an+1﹣an)> + + +…+

(1+ + +…+ )= (1+1﹣ )>


【解析】(1)由条件得an2﹣an12 ,an12﹣an22 ,…,a32﹣a22 ,各式累加后放缩得出结论;(2)由条件得n2(an+1﹣an)= = ,各式累加后放缩得出结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用数列的前n项和和不等式的证明的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.

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