Question

17．给出命题p：在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2cosx+1，2cos2x+2），Q（cosx，-1），?x∈[0，π]，$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$都不垂直．试写出￢p，并说明￢p的真假性．

Answer 1

分析 根据全称命题否定的方法，可得￢p，再由向量垂直的充要条件，可得答案．

解答 解：∵在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2cosx+1，2cos2x+2），Q（cosx，-1），
命题p：?x∈[0，π]，$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$都不垂直．
∴命题￢p为：?x∈[0，π]，使得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$．
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=（2cosx+1）cosx-（2cos2x+2）=-2cos²x+cosx，
当x=$\frac{π}{3}$时，cosx=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
故￢p为真命题；

点评 本题考查的知识点是全称命题否定的方法，命题的真假判断与应用，难度中档．