Question

2．求函数y=2${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}+2x}}$的定义域、值域及单调增区间．

Answer 1

分析 根据二次根式的性质求出x的范围即可；结合复合函数的性质求出函数的单调区间，从而求出函数的值域问题．

解答 解：①由题意得：-x²+2x≥0，
解得：0＜x＜2，
∴函数的定义域是（0，2），
②令g（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
对称轴x=1，g（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，
∴g（x）_最大值=g（1）=1，g（x）_最小值=g（0）=g（2）=0，
∴x=1时，y的最大值是2，x=0时：y的最小值是1，
∴函数的值域是[0，1]；
③由②得：函数y=2${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}+2x}}$在（0，1）递增．

点评 本题考查了求函数的定义域、值域问题，考查复合函数的单调性，是一道基础题．