题目内容
（2012•通州区一模）对于数列{an}，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{an}的“差等比数列”，记为数列{bn}．设数列{bn}的首项b1=2，公比为q（q为常数）．
（I）若q=2，写出一个数列{an}的前4项；
（II）a1与q满足什么条件，数列{an}是等比数列，并证明你的结论；
（III）若a1=1，数列{an+cn}是公差为q的等差数列，且c1=q，求数列{cn}的通项公式；并证明当1＜q＜2时，c5＜-2q2．
（I）若q=2，写出一个数列{an}的前4项；
（II）a1与q满足什么条件，数列{an}是等比数列，并证明你的结论；
（III）若a1=1，数列{an+cn}是公差为q的等差数列，且c1=q，求数列{cn}的通项公式；并证明当1＜q＜2时，c5＜-2q2．
分析：（Ⅰ）根据数列{bn}是等比数列，且b1=2，q=2，可得b2=4，b3=8，由此可求个数列{an}的前4项；
（Ⅱ）先确定a2=a1+2，a3=a1+2+2q，根据数列{an}是等比数列，即可求出公比；
（Ⅲ）先确定cn-cn-1=q-2qn-2，再利用叠加法，即可求数列{cn}的通项公式，从而可证明1＜q＜2时，c5＜-2q2．
（Ⅱ）先确定a2=a1+2，a3=a1+2+2q，根据数列{an}是等比数列，即可求出公比；
（Ⅲ）先确定cn-cn-1=q-2qn-2，再利用叠加法，即可求数列{cn}的通项公式，从而可证明1＜q＜2时，c5＜-2q2．
解答：解：（Ⅰ）因为数列{bn}是等比数列，且b1=2，q=2，所以b2=4，b3=8，
所以a1=1，a2=3，a3=1，a15=15．（写出满足条件的一组即可）…（2分）
（Ⅱ）因为数列{bn}是等比数列，首项b1=2，公比为q，，所以b2=2q，b3=2q2，
所以a2=a1+2，a3=a1+2+2q．
因为数列{an}是等比数列，
所以a22=a1a3，即（a1+2）2=a1×（a1+2+2q）
所以q=
．
所以当q=
时，数列{an}是等比数列．…（5分）
（Ⅲ）因为{an+cn}是公差为q的等差数列，所以（an+cn）-（an-1+cn-1）=q
∵an-an-1=2qn-2，
∴cn-cn-1=q-2qn-2，
∴cn=c1+（c2-c1）+…+（cn-cn-1）=nq-2（qn-2+2qn-3+…+q+1）=nq-
∴c5=5q-
=-2q3-2q2+3q-2
∴c5-（-2q2）=2q（1-q2）+（q-2）．
∵1＜q＜2，∴1-q2＜0，q-2＜0．
∴c5-（-2q2）＜0
∴c5＜-2q2． …（13分）
所以a1=1，a2=3，a3=1，a15=15．（写出满足条件的一组即可）…（2分）
（Ⅱ）因为数列{bn}是等比数列，首项b1=2，公比为q，，所以b2=2q，b3=2q2，
所以a2=a1+2，a3=a1+2+2q．
因为数列{an}是等比数列，
所以a22=a1a3，即（a1+2）2=a1×（a1+2+2q）
所以q=
| a1+2 |
| a1 |
所以当q=
| a1+2 |
| a1 |
（Ⅲ）因为{an+cn}是公差为q的等差数列，所以（an+cn）-（an-1+cn-1）=q
∵an-an-1=2qn-2，
∴cn-cn-1=q-2qn-2，
∴cn=c1+（c2-c1）+…+（cn-cn-1）=nq-2（qn-2+2qn-3+…+q+1）=nq-
| 2(1-qn-1) |
| 1-q |
∴c5=5q-
| 2(1-q4) |
| 1-q |
∴c5-（-2q2）=2q（1-q2）+（q-2）．
∵1＜q＜2，∴1-q2＜0，q-2＜0．
∴c5-（-2q2）＜0
∴c5＜-2q2． …（13分）
点评：本题考查新定义，考查等比数列的证明，考查叠加法求数列的和，正确理解新定义是关键．
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