Question

12．已知函数f（x）=ax³+2x-a，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若a=n且n∈N^*，设x_n是函数f_n（x）=nx³+2x-n的零点．
（i）证明：n≥2时存在唯一x_n且${x}_{n}∈（\frac{n}{n+1}，1）$；
（i i）若b_n=（1-x_n）（1-x_n+1），记S_n=b₁+b₂+…+b_n，证明：S_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对f（x）求导得到单调区间
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，f_n（x）=nx³+2x-n在R上单调递增，证明f_n（$\frac{n}{n+1}$）=-$（\frac{n}{n+1}）^{3}（\frac{{n}^{2}-n-1}{{n}^{2}}）$即可．
（ii）利用数列裂项求和和不等式放缩技巧证明即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2，
若a≥0，则f'（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；
若a＜0，令f'（x）＞0，∴$x＞\sqrt{\frac{2}{3a}}$或$x＜-\sqrt{\frac{2}{3a}}$，
函数f（x）的单调递增区间为$（-∞，\sqrt{\frac{2}{3a}}）$和$（\sqrt{\frac{2}{3a}}，+∞）$；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，f_n（x）=nx³+2x-n在R上单调递增，
又f_n（1）=n+2-n=2＞0，
f_n（$\frac{n}{n+1}$）=$n（\frac{n}{n+1}）^{3}+2（\frac{n}{n+1}）-n$=$n（\frac{n}{n+1}）^{3}+2（\frac{n}{n+1}）-n$
=$（\frac{n}{n+1}）^{3}（n+\frac{2（n+1）^{2}}{{n}^{2}}\frac{（n+1）^{3}}{{n}^{2}}）$=-$（\frac{n}{n+1}）^{3}（\frac{{n}^{2}-n-1}{{n}^{2}}）$
当n≥2时，g（n）=n²-n-1＞0，${f}_{n}（\frac{n}{n+1}）＜0$，
n≥2时存在唯一x_n且${x}_{n}∈（\frac{n}{n+1}，1）$
（i i）当n≥2时，${x}_{n}∈（\frac{n}{n+1}，1）$，∴$0＜1-{x}_{n}＜\frac{1}{n+1}$（零点的区间判定）
∴${b}_{n}＜\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，（数列裂项求和）
∴${S}_{n}={b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}＜{b}_{1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}$，
又f1（x）=x3+2x-1，${f}_{1}（\frac{1}{3}）=-\frac{8}{27}＜0，{f}_{1}（\frac{2}{3}）=\frac{17}{27}＞0$，（函数法定界）
$\frac{1}{3}＜1-{x}_{1}＜\frac{2}{3}$，又$0＜1-{x}_{2}＜\frac{1}{3}$，
∴$0＜（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）＜\frac{2}{9}$，
∴${S}_{n}={b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}＜\frac{2}{9}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}＜1-\frac{1}{n+1}＜1$，（不等式放缩技巧）
命题得证．

点评 本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题，属于难题．