Question

9．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）若数列{a_n}的前三项依次为a-1，a+1，a+4，求通项公式a_n；
（2）若S_m、S_m+2、S_m+1成等差数列，求证：a_m、a_m+2、a_m+1成等差数列．

Answer 1

分析 （1）由已知a-1，a+1，a+4为等比数列{a_n}的前三项，利用等比数列的性质列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出此数列的前三项，再根据等比数列的性质求出公比q的值，由首项与公比写出此等比数列的通项公式即可；
（2）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q．讨论公比为1，不为1，由等比数列的求和公式，结合等差数列的性质，可得q的值，再由等差数列的性质及等比数列的通项，即可得证．

解答 解：（1）∵a-1，a+1，a+4为等比数列{a_n}的前三项，
∴（a+1）²=（a-1）（a+4），
解得：a=5，
∴等比数列{a_n}的前三项依次为4，6，9，
可得公比q=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，首项为4，
则a_n=4•（$\frac{3}{2}$）^n-1．
（2）证明：设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q．
若S_m、S_m+2、S_m+1成等差数列，即有2S_m+2=S_m+S_m+1．
当q=1时，有S_m=ma₁，S_m+2=（m+2）a₁，S_m+1=（m+1）a₁，
显然：2S_m+2≠S_m+S_m+1．
故q≠1，S_m=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{m}）}{1-q}$，S_m+1=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{m+1}）}{1-q}$，S_m+2=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{m+2}）}{1-q}$，
由2S_m+2=S_m+S_m+1，化简可得2q^m+2=q^m+q^m+1，
即为2q²=1+q，解得q=-$\frac{1}{2}$，
则2a_m+2-（a_m+a_m+1）=2a₁•q^m+1-（a₁•q^m-1+a₁•q^m）=a₁•q^m-1（2q²-1-q）=0，
即为2a_m+2=a_m+a_m+1
故a_m、a_m+2、a_m+1成等差数列．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．