题目内容

【题目】已知椭圆 =1(a>b>0)的离心率e= ,其左右焦点分别为F1 , F2 , 过F1的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为4

(1)求椭圆的方程;
(2)如图,直线x=ty+m交椭圆于不同两点C,D,若以线段CD为直径的圆过原点O,求|CD|的取值范围.

【答案】
(1)解:由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,

即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|

=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4 ,可得a=

e= = ,可得c=2,b= =1,

即有椭圆的方程为 +y2=1


(2)解:当直线OC的斜率不存在或斜率为0时,

可得|CD|= =

当直线OC的斜率存在时,

设直线OC的方程为y=kx(k≠0),直线OD的方程为:y=﹣ x

联立 ,解得x2= ,y2=

∴|OC|2=x2+y2=

同理可得|OD|2=

∴|CD|2=|OC|2+|OD|2= + =

= ,当k2=1时取等号.

∴|CD|≥

综上可得, ≤|CD|≤


【解析】(2)当直线OC的斜率不存在或斜率为0时,可得|CD|= = .当直线OC的斜率存在时,设直线OC的方程为y=kx(k≠0),直线OD的方程为:y=﹣ x联立椭圆方程,解得x2 , y2 . 可得|OC|2=x2+y2= .同理可得|OD|2= .可得|CD|2=|OC|2+|OD|2 , 求得最小值,即可得出范围.

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