题目内容
【题目】已知数列{an}满足：对于任意n∈N*且n≥2时，an+λan﹣1=2n+1，a1=4．
（1）若 
，求证：{an﹣3n}为等比数列；
（2）若λ=﹣1．①求数列{an}的通项公式； ②是否存在k∈N*，使得 
+25为数列{an}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）证明： 
，n≥2时，an﹣ 
an﹣1=2n+1，化为：an﹣3n= [an﹣1﹣3（n﹣1）]，
∴数列{an﹣3n}为等比数列，首项为1，公比为
（2）解：①λ=﹣1时，n≥2时，an﹣an﹣1=2n+1，a1=4．
∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n+1）+（2n﹣1）+…+（2×2+1）+4
= 
+1=n2+2n+1=（n+1）2．
②假设存在存在k∈N*，使得 
+25为数列{an}中的第n项，则 +25=（n+1）2，
则（2k+1）×（2k+2）+25=（n+1）2，
由于左边是奇数，因此n必然为偶数．
又（2k+1）×（2k+2）=（n+6）（n﹣4），
∴（4k+2）×（k+1）=（n+6）（n﹣4），
因此k必然为奇数，若 
，解得k=3，n=8．
只能有一解
【解析】（1） 
，n≥2时，an﹣ 
an﹣1=2n+1，化为：an﹣3n= [an﹣1﹣3（n﹣1）]，即可证明．（2）①λ=﹣1时，n≥2时，an﹣an﹣1=2n+1，a1=4．利用累加求和即可得出．②假设存在存在k∈N*，使得 
+25为数列{an}中的第n项，可得 +25=（n+1）2，可得（2k+1）×（2k+2）+25=（n+1）2，由于左边是奇数，因此n必然为偶数．又（2k+1）×（2k+2）=（n+6）（n﹣4），可得（4k+2）×（k+1）=（n+6）（n﹣4），因此k必然为奇数，只有可能 
，解出即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．
